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\begin{document}
\title{6.3 习题}
\maketitle

说在开头的话：文中的\textbf{上确界与最小上界不是一回事}，
最小上界是一个集合$E$有上界为前提的，此时的最小上界与上确界一致。
而如果集合没有最小上界，那么集合的上确界被指定为$+\infty$【空集时被指定为$-\infty$】。
由此可知，最小上界定义是包含在上确界中的定义中，反之则不然。

\section*{6.3.1}

证明$sup(a_n)_{n=1}^\infty=1$，
首先$1$是上界，因为$a_n$是递减的，且$n=1$时，$a_1 = 1$。
假设存在上界$M < 1$，由$a_1=1$可知，$M$不存在。

证明$inf(a_n)_{n=1}^\infty=0$，
首先，因为$n$是正整数，所以$1/n>0$，于是$0$是下界。假设存在下界$m > 0$，由推论5.4.13（阿基米德性质）可知，
存在正整数$M$使得$Mm > 1$，所以$m > 1/M$，取$n = M$，此时$a_n = 1/M < m$，
与$m$是下界矛盾。

\section*{6.3.2}

设$E := \{a_n : n \geq m\}$，$E$是非空的实数集合，$x := sup(E)$。

（1）
由定义6.2.6可知，$x$要么是实数，要么是$+\infty$。

如果$x$是实数，由最小上界定义可知，$a_n \leq x$对所有的$n \geq m$均成立。

如果$x$是$+\infty$，定义6.2.3可知$a_n \leq x$。


（2）$M$是$E$的上界。反证法$x > M$。
如果$x$是实数，那么此时与$x$是$E$的最小上界定义矛盾。
如果$x=+\infty$，那么由定义6.2.3可知，这样的$x \geq M$，按照定义5.5.10此时$E$是没有上界的，
于是$M = +\infty$，所以不存在$x>M$。

综上，$ x \leq M$。

（3）反证法。假设不存在$n \geq m$使得$y < a_n \leq x$。

由假设可知$a_n \leq y$或$a_n > x$。

如果$x$是实数，那么，$x$是$E$的最小上界，
如果存在$y<x, a_n \leq y$，那么$y$才是$E$的最小上界，所以该情况不可能发生。
如果存在$a_n > x$，那么与$x$是最小上界矛盾，所以该情况不可能发生。

如果$x=+\infty$，表明$E$没有上界。
所以$a_n > x$是不可能的。
如果存在$y < x, a_n \leq y$，那么，$y$是实数，即$E$是有上界的，这与$E$没有上界矛盾。

综上，假设不成立。

\section*{6.3.3}

由于序列$(a_n)_{n=m}^\infty$是有界的实数序列，所以集合$E := \{a_n : n \geq m\}$按定理5.5.9
可知集合$E$有一个最小上界，即存在$sup(E)$。

$M$是$E$的上界，由命题6.3.6可知，那么$sup(E) \leq M$。

现在要证明序列$(a_n)_{n=m}^\infty$是收敛的，并且收敛于$sup(E)$，为了描述方便，设$x:=sup(E)$。

对于任意实数$\epsilon > 0$，$x - \epsilon < x$，
由命题6.3.6可知，存在一个$n \geq m$使得$x-\epsilon < a_n \leq x$，不妨设这里的$n$为$N$，
由于序列是递增的，且$x$是最小上界，所以$x-\epsilon < a_n \leq x$对$n \geq N$均成立，
所以$|x - a_n| \leq \epsilon$，即序列是最终$\epsilon -$接近与$x$，由于$\epsilon$是任意的，
所以序列收敛于$x$，即：$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = x = sup(a_n)_{n=m}^\infty$

\section*{6.3.4}

反证法，假设$x > 1$时，$x^n$收敛于某个实数$c$。

因为$(1/x)^nx^n =1$，可知$\lim\limits_{n \to \infty} (1/x)^nx^n = 1$。

又$x > 1, 0 < 1/x < 1$，于是由极限定律6.1.19 和 命题6.3.10 可知
\begin{align*}
   & \lim\limits_{n \to \infty} (1/x)^nx^n                               \\
   & = \lim\limits_{n \to \infty} (1/x)^n \lim\limits_{n \to \infty} x^n \\
   & = 0 \times c                                                        \\
   & = 0
\end{align*}
存在矛盾。

\end{document}